XOR 问题

概述

XOR（异或）是单层感知机无法解决的经典线性不可分问题，由 Minsky 和 Papert 在 1969 年《Perceptrons》中严格证明，直接导致 AI 寒冬。

XOR 真值表：x₁=0,x₂=0→0；x₁=0,x₂=1→1；x₁=1,x₂=0→1；x₁=1,x₂=1→0。输出为 1 当且仅当两个输入不同。
几何不可分性：在二维特征空间中，(0,0) 和 (1,1) 为一类（输出 0），(0,1) 和 (1,0) 为另一类（输出 1）。这两类样本呈对角分布，无法用一条直线分开。
Minsky-Papert 证明：1969 年《Perceptrons (Minsky & Papert 1969)》严格证明了单层感知机只能解决线性可分问题，XOR 作为反例证明了感知机的根本局限。
历史后果：该证明发表后，神经网络研究经费大幅削减，学术界转向符号主义 AI，连接主义研究进入长达十余年的AI 寒冬。
解决方案：XOR 问题最终通过多层感知机（MLP）解决——添加隐藏层并引入非线性激活函数（如 sigmoid、ReLU），配合反向传播（Backpropagation）算法训练，即可学习任意非线性决策边界。